Definición y construcción.
Un hexágono regular es una figura plana, que tiene seis lados de igual longitud y los mismos ángulos iguales.
Si recordamos la fórmula para la suma de los ángulos de un polígono
180 ° (n-2),
Resulta que en esta figura es igual a 720 °. Bueno, dado que todos los ángulos de la figura son iguales, es fácil calcular que cada uno de ellos es igual a 120 °.
Dibujar un hexágono es muy simple, para esto hay suficientes compases y reglas.
Las instrucciones paso a paso se verán así:
se dibuja una línea recta y se le pone un punto;- un círculo se construye desde este punto (es su centro);
- Dos más de lo mismo se construyen desde la intersección del círculo con la línea, deben converger en el centro.
- después de eso, todos los puntos en el primer círculo están conectados en serie por segmentos.
Si lo deseas, puedes prescindir de la línea dibujando cinco círculos iguales a lo largo del radio.
La figura así obtenida será un hexágono regular, y esto se puede demostrar a continuación.
Las propiedades son simples e interesantes.
Para entender las propiedades de un hexágono regular, tiene sentido dividirlo en seis triángulos:
Esto ayudará a visualizar aún más sus propiedades, las principales de las cuales son:
- diámetro del círculo circunscrito;
- diámetro del círculo inscrito;
- area
- perimetro
El círculo circunscrito y la posibilidad de construir.
Puedes describir un círculo alrededor de un hexágono, y además, solo uno. Dado que esta cifra es correcta, puede hacerse de manera muy simple: desde dos esquinas adyacentes, mantenga dentro de la bisectriz. Se intersecan en el punto O, y forman un triángulo junto con el lado entre ellos.
Los ángulos entre el lado del hexágono y las bisectrices serán 60 ° cada uno, por lo que definitivamente puede decir que un triángulo, por ejemplo, AOB es isósceles. Y como el tercer ángulo también será igual a 60 °, también es equilátero. De ello se deduce que los segmentos OA y OB son iguales, lo que significa que pueden servir como el radio de un círculo.
Después de eso, puede ir al siguiente lado y, desde la esquina en el punto C, también dibujar la bisectriz. Obtendrá otro triángulo equilátero, y el lado AB será común para dos a la vez, y el sistema operativo será otro radio a través del cual pasa el mismo círculo. En total, habrá seis triángulos de este tipo, y tendrán un vértice común en el punto O. Resulta que será posible describir el círculo, y es solo uno, y su radio es igual al lado del hexágono:
R = a .
Por eso es posible construir esta figura con una brújula y una regla.
Bueno, el área de este círculo será estándar:
S = πR²
Circulo inscrito
El centro del círculo circunscrito coincidirá con el centro de la inscripción. Para verificar esto, uno puede dibujar perpendiculares desde el punto O a los lados del hexágono. Serán las alturas de los triángulos que forman el hexágono. Y en un triángulo isósceles, la altura es la mediana del lado en el que descansa. Por lo tanto, esta altura no es más que la mediana perpendicular, que es el radio del círculo inscrito.
La altura de un triángulo equilátero se calcula simplemente:
h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a (√3) / 2
Y como R = a y r = h, resulta que
r = R (√3) / 2 .
Así, el círculo inscrito pasa a través de los centros de los lados de un hexágono regular.
Su área será:
S = 3πa² / 4,
Es decir, las tres cuartas partes de lo descrito.
Perímetro y area
Desde el perímetro, todo está claro, esta es la suma de las longitudes de los lados:
P = 6a, o P = 6R
Pero el área será igual a la suma de los seis triángulos en los que se puede dividir el hexágono. Dado que el área de un triángulo se calcula como la mitad del producto de la base por altura, entonces:
S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a² (√3) / 4 = 3a² (√3) / 2 o
S = 3R² (√3) / 2
Aquellos que deseen calcular esta área a través del radio del círculo inscrito se pueden hacer así:
S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)
Construcción entretenida
Un triángulo se puede inscribir en un hex, cuyos lados conectarán los vértices a través de uno:
En total habrá dos de ellos, y su imposición mutua dará a la estrella de David. Cada uno de estos triángulos es equilátero. Esto no es difícil de verificar. Si miras el lado de la UA, entonces pertenece a dos triángulos a la vez: TÚ y AES. Si en el primero de ellos AB = BC, y el ángulo entre ellos es de 120 °, entonces cada uno del resto será de 30 °. Desde aquí puedes sacar conclusiones lógicas:
- La altura de ABC desde el vértice B será igual a la mitad del lado del hexágono, ya que sen30 ° = 1/2. Aquellos que deseen convencerse de esto se les puede recomendar que vuelvan a calcular de acuerdo con el teorema de Pitágoras, aquí encaja perfectamente.
- El lado de la CA será igual a dos radios del círculo inscrito, que nuevamente se calcula por el mismo teorema. Es decir, AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
- Los triángulos ABC, ETS y AEF son iguales en ambos lados y en el ángulo entre ellos, y esto implica la igualdad de los lados AC, CE y EA.
Al cruzarse entre sí, los triángulos forman un nuevo hexágono, y también es correcto. Se demuestra simplemente:
El ángulo ABF es igual al ángulo TÚ. Por lo tanto, el triángulo resultante con la base AB y el vértice sin nombre opuesto es isósceles.- Todos los mismos triángulos, cuya base es el lado del hexágono, son iguales en el lado y en las esquinas adyacentes a él.
- Los triángulos en los vértices del hexágono son equiláteros e iguales, como se desprende del párrafo anterior.
- Las esquinas del hexágono recién formado son 360-120-60-60 = 120 °.
Por lo tanto, la figura cumple con las características de un hexágono regular: tiene seis lados y ángulos iguales. Desde la igualdad de los triángulos en los vértices, es fácil derivar la longitud del lado del nuevo hexágono:
d = a (√3) / 3
Será el radio de la circunferencia descrita a su alrededor. El radio del inscrito será la mitad del tamaño del lado del hexágono grande, que se demostró al considerar el triángulo ABC. Su altura es solo la mitad del lado, por lo tanto, la segunda mitad es el radio del círculo inscrito en el hexágono pequeño:
r₂ = a / 2
El área del nuevo hexágono se puede calcular de la siguiente manera:
S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2
Resulta que el área del hexágono dentro de la estrella de David es tres veces más pequeña que la del gran hexágono, en la que está inscrita la estrella.
De la teoría a la práctica.
Las propiedades del hexágono se utilizan de forma muy activa tanto en la naturaleza como en diversos campos de la actividad humana. En primer lugar, se trata de pernos y tuercas: las tapas de la primera y la segunda no son más que un hexágono regular, si no se tiene en cuenta el chaflán. El tamaño de las llaves corresponde al diámetro del círculo inscrito, es decir, la distancia entre las caras opuestas.
La baldosa hexagonal también ha encontrado su uso. Está mucho menos extendido que uno cuadrangular, pero es más conveniente colocarlo: en un punto, tres fichas se encuentran, no cuatro. Las composiciones pueden ser muy interesantes:
Baldosas de pavimento de hormigón también están disponibles.
La prevalencia de hexágonos en la naturaleza se explica simplemente. Por lo tanto, la forma más fácil de ajustar firmemente los círculos y las bolas en el plano, si tienen el mismo diámetro. Debido a esto, los panales tienen tal forma.